z Radius of gyration (in polymer science)(, unit: nm or SI unit: m): For a macromolecule composed of mass elements, of masses , =1,2,…,, located at fixed distances from the centre of mass, the radius of gyration is the square-root of the mass average of over all mass elements, i.e., = (∑ = / ∑ =) / Note: The mass … 2 Dopo aver visto qual è l'espressione del momento d'inerzia di un punto materiale che ruota attorno a un asse, vogliamo infine trovare la formula del momento di inerzia di un corpo esteso, nell'ipotesi che sia rigido.. Bisogna subito dire che, a differenza del caso delle particelle, per i corpi rigidi non esiste un'unica formula per il momento d'inerzia. punti con massa ^ Dapprima si prenda l'asse per il quale si vuole calcolare il momento di inerzia parallelo al lato di 4 cm e passante per il baricentro, poi si prenda un altro asse parallelo al lato di 2 cm, sempre passante per il baricentro. individuati dalle coordinate cartesiane , 1 {\displaystyle -R} P In pratica, a parità di materiale, quanto più è elevato il momento di inerzia tanto più risulta resistente la trave. {\displaystyle \mathrm {d} x} {\displaystyle M} I {\displaystyle \rho } z h , contenuto nel piano x y, avente n vertici di coordinate è definito come: Si può notare che i punti materiali che si trovano più lontani dall'asse di rotazione danno un maggiore contributo. h n − δ x h , y Call of Duty®: Black Ops III Zombies is the most immersive and ambitious Call of Duty® Zombies to date. {\displaystyle z} Nel primo caso si ha {\displaystyle \rho } j Tale verifica è però banale, in quanto l'energia cinetica è uno scalare, ed è pertanto invariante per un cambio di coordinate: Per le leggi di trasformazione del vettore i ) m i 1 moltiplicato per il volume del cilindro di altezza z , 4 1 _ b [ h avente come base un poligono contenuto nel piano x y avremo che i rispettivi momenti di inerzia sono: Si vogliono presentare alcuni esempi per capire meglio come l'orientamento delle figure geometriche, e le loro dimensioni, entrano in gioco nel calcolo del momento di inerzia. , altezza cono. ( {\displaystyle R} In questo caso il momento di inerzia rispetto all'asse 0 . Indicando con 2 M = d Il suo baricentro coincide con il centro del disco. Δ si intende la norma con il segno del vettore risultante dal prodotto vettoriale tra {\displaystyle c} le loro masse. , si possono esprimere: Per dimostrare queste equazioni si utilizzano il prodotto tensoriale e l'identità di Lagrange. ¯ Si prenda come esempio una delle figure geometriche più semplici, il rettangolo, assumendo un'area di 8 cm², con un lato di 2 cm e l'altro di 4 cm. {\displaystyle \rho (x,y)} m 2 x {\displaystyle \Delta V} {\displaystyle J} b + y 1 r ^ ^ / {\displaystyle \Delta m=\rho \Delta V} z il prodotto tra la massa del corpo e la distanza al quadrato tra gli assi ρ = x e il momento di inerzia rispetto all'asse del cilindro è dato da: Per calcolare il momento d'inerzia di un cono si consideri il momento finale come la somma dei momenti di inerzia dei dischi con altezza infinitesima → I n , ρ le distanze di tali punti dall'asse di rotazione e con , Per esempio un anello rotolerà più lentamente di un disco della stessa massa e raggio. ( r (per esempio: Per quanto riguarda il momento di inerzia di massa si considerino, ad esempio, due dischi (A e B) della stessa massa. Il momento d'inerzia rispetto a un qualunque asse passante per il centro di massa si può anche esprimere come la distanza dal centro alla quale tale asse interseca la superficie di un ellissoide i cui semiassi, orientati lungo gli assi principali, sono lunghi _ = ) 1 V La corda sia di massa trascurabile e, in tensione, è parallela al piano inclinato. e ( In meccanica classica, il momento di inerzia (detto anche momento polare o momento di secondo ordine o meno propriamente secondo momento d'inerzia) è una proprietà geometrica di un corpo, definita come il secondo momento della massa rispetto alla posizione: esso misura l'inerzia del corpo al variare della sua velocità angolare, una grandezza fisica usata nella descrizione del moto dei corpi in rotazione attorno a un asse, e nei moti rotatori, il momento d'inerzia gioca il ruolo che ha la massa nei moti lineari. usando il prodotto scalare: dove la sommatoria è sui tre assi delle coordinate cartesiane. → + θ P {\displaystyle \delta _{ij}} I ) . {\displaystyle (x,y,z)} ( m : Se il corpo è omogeneo (la sua densità è quindi una funzione costante) ed è caratterizzato da particolari simmetrie, allora il calcolo dell'integrale risulta particolarmente semplice. {\displaystyle m} ( {\displaystyle b=1} i Per un solido di rotazione omogeneo l'asse di rotazione è un asse principale d'inerzia. ) {\displaystyle h} Possiede due forme, una forma scalare, usata quando si conosce esattamente l'asse di rotazione, e una forma tensoriale, più generale, che non necessita della conoscenza dell'asse di rotazione (il momento d'inerzia scalare è spesso chiamato semplicemente momento di inerzia). La situazione rappresentata in figura corrisponde al caso h/R = … 2 {\displaystyle R} ρ ρ e Inoltre, mantenendo l'area del rettangolo sempre uguale a 8 centimetri quadrati e il lato più lungo ortogonale all'asse, si consideri ora un rettangolo di lati Il concetto fu introdotto da Eulero nel suo libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum nel 1765. ) La misura del generico elemento di volume è data da secondo il rapporto Esistono due definizioni distinte di momento d'inerzia: il momento d'inerzia di massa, usato spesso in dinamica e indicato solitamente con z m {\displaystyle \Delta V\to 0} ( n V i Un altro modo per ottenere la sfera piena è considerarla costituita da sfere cave infinitamente sottili, con raggio crescente da 0 a r. Intorno all'asse verticale: = = l'asse di rotazione fisso di un sistema di n punti materiali. i ρ = la precedente diventa: Da questa è ora facile far discendere che: ovvero che … le cui componenti sono definite come: dove l'indice {\displaystyle I_{yy}} = z 2 Caratteristiche cinematiche di un moto rototraslatorio . a / z x 4 . h Indichiamo con Poiché questo tensore è una matrice reale simmetrica, per il teorema spettrale è possibile trovare un sistema di coordinate cartesiane (una base ortonormale) rispetto al quale la matrice è diagonale: dove gli assi (gli autovettori della matrice) sono chiamati assi principali e le costanti ρ Al centro del cilindro è attaccata una corda che trascina un blocco di massa m=2 kg. La nozione di raggio di inerzia ( o raggio giratore ) è presente anche nella definizione del momento di inerzia di massa. 2 a Il momento d'inerzia di una sfera si ottiene sommando i momenti di inerzia dei dischi di spessore infinitesimo = è un tensore covariante del secondo ordine. {\displaystyle I_{z}=mr^{2}\left(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}{t_{n}}^{2}\right)}, I x {\displaystyle (x_{i}\;,y_{i})} {\displaystyle h=8} in quanto righe della matrice identità tridimensionale, la rotazione intorno a quello degli assi principali d'inerzia per il quale il momento d'inerzia non è né massimo, né minimo, non è stabile. Un raggio di sole (ma solo uno) per le famiglie arcobaleno. {\displaystyle \Delta I_{z}=\rho \Delta Vr^{2}} b {\displaystyle r} , massa = a x Sia I I ( , raggio d [1] Ad esempio, se la figura giace sul piano x-y: Di seguito verranno calcolati i momenti di inerzia, rispetto all'asse di simmetria passante per il centro di massa, di alcuni solidi omogenei notevoli di densità volumetrica pari a Inoltre, quanto più il materiale è lontano dall'asse passante per il suo baricentro, tanto più aumenta il momento di inerzia. , , y ≡ ( 4 … − Infatti esso è direttamente correlato alla resistenza della sezione di un elemento soggetto a flessione rispetto ai carichi ortogonali all'asse di riferimento. denota la componente l-esima della distribuzione di masse e I n mentre per il momento di inerzia di superficie è il R {\displaystyle {\hat {z}}} i Si consideri un cilindro di massa , raggio e altezza , per cui =.La misura del generico elemento di … {\displaystyle z} R H è la densità); in tale caso il contributo di momento di tale elemento di volume al momento di inerzia totale è dato da i ⁡ i {\displaystyle \left({\frac {3}{4}}a^{2}+b^{2}\right)m} , il momento d'inerzia di un parallelepipedo, calcolato rispetto all'asse 2 V I {\textstyle \mathrm {m} ^{4}} Usando il tensore {\displaystyle I_{xx}} I {\displaystyle m_{i}} i {\displaystyle z} Infatti la massa dell'anello è disposta lontano dal centro di rotazione e quindi, a parità di velocità, l'energia cinetica accumulata dal corpo è maggiore. 2 Considerata una figura piana con distribuzione di massa bidimensionale, allora il momento di inerzia attorno all'asse perpendicolare al piano su cui giace la figura è pari alla somma dei momenti di inerzia attorno agli assi che definiscono il piano. {\displaystyle l} H + {\displaystyle \rho } z passante per il baricentro del parallelepipedo, è pari a: I momenti di inerzia sono calcolati rispetto all'asse orizzontale baricentrale, ovvero l'asse 2 d → Integrando il momento di inerzia del disco da 3 {\displaystyle \mathrm {d} z} {\displaystyle I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}} MOMENTI DI INERZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo mche rappresenta la quan-tità di materia di cui è costituito il punto. {\displaystyle {\vec {P}}} = {\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}} ( , I M {\displaystyle \rho (x,y)={\tfrac {m}{2\pi ab}}\exp({-((x/a)^{2}+(y/b)^{2})/2})} Il raggio del singolo disco varia linearmente al variare di r 12 se è allineato con gli assi. y la loro velocità angolare, che è uguale per tutti i punti se il corpo è rigido: In modo analogo l'energia cinetica del corpo rotante è: È possibile estendere la definizione di momento di inerzia di massa anche a un corpo rigido di volume r {\displaystyle x=R} ) Il momento di inerzia del sistema è uguale a quello che avrebbe se i due dischi di legno fossero direttamente a contatto. − (in pratica si è "stirato" il rettangolo di partenza mantenendo invariata l'area). 2 Il momento di inerzia si ottiene allora sommando tutti i contributi e passando al continuo, cioè per Anche una massa puntiforme (m) alla fine di un'asta di lunghezza r ha lo stesso momento di inerzia, e il valore r è chiamato raggio di inerzia. {\displaystyle \rho } ) 1 {\displaystyle {\vec {P_{i}}}} {\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i})} . x ρ ) Δ v c m ( Si definisce poi flessione retta quella sollecitazione in cui il momento flettente agisce lungo un piano principale d'inerzia, flessione deviata quella dove il momento flettente non agisce su un piano principale d'inerzia… . r m / , si considerino inoltre i vettori si ottiene il risultato finale. {\displaystyle (r_{i})_{i=1,\dots ,n}} 2 Le quantità . π è un tensore covariante del secondo ordine è necessario mostrare che esso si trasforma come un vettore del suo genere. 2 | m Δ x x {\displaystyle b=4} , fissando l'origine del sistema di riferimento al centro della sfera orientato verso l'alto. {\displaystyle H} è unica e omogenea le componenti del momento di inerzia si esprimono come: per un sistema di i a ) 1 , raggio della sfera, a un massimo di {\displaystyle 1/{\sqrt {I_{3}}}} z Una trave si definisce sottoposta a flessione semplice quando ai suoi estremi agiscono soltanto dei momenti flettenti. m È un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte e, Questo è un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con, Tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, di raggio interno, Una sfera cava può essere considerata come costituita da due pile di circonferenze infinitamente sottili, una sopra l'altra, con i raggi che aumentano da, Una sfera può essere considerata come costituita da due pile di dischi solidi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da, Per un cubo orientato allo stesso modo e con lati di lunghezza, Questa espressione assume che il poligono sia. π {\displaystyle P_{i}\equiv (x_{i}\;,y_{i})} Momento di inerzia di massa per solidi omogenei, Momento di inerzia di superficie per figure geometriche piane, Momenti di inerzia di superficie delle sezioni più comuni, Variazione dell'orientamento e delle dimensioni di una figura geometrica piana, Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata, Classical dynamics of particles & systems, https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Momento_di_inerzia&oldid=119100181, Voci non biografiche con codici di controllo di autoritÃ, Беларуская (тарашкевіца)‎, Srpskohrvatski / српскохрватски, licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo. 12 V (essendo e . R Momento d’inerzia di un DISCO omogeneo rispetto ad un asse baricentrale perpendicolare al piano del disco Consideriamo ora un disco omogeneo di massa M, raggio r e spessore trascurabile. i m, la massa, è costante nel tempo. / g P 1 ( Se le forze sulla trave hanno direzione y, si calcola il momento di inerzia della sezione secondo l'asse x (ortogonale a y) passante per il baricentro della sezione della trave. ) Nel moto circolare uniforme, il vettore velocità è, in ogni punto, perpendicolare alla traiettoria e, quindi, al raggio vettore \(\vec r\).. Disegnando le frecce che rappresentano le velocità con le code nello stesso punto, nella figura 17 si vede che la punta di \(\vec v\) compie un moto circolare uniforme.. Il vettore \(\vec v\) compie un giro completo ogni volta che il raggio … Uno stesso oggetto può avere differenti momenti di inerzia a seconda dell'asse di rotazione. ) Dopodiché, si applica il teorema di Huygens-Steiner all'inverso (distanza del centro del diametro dal centro di massa, Superficie cilindrica sottile con estremità aperte, di raggio, Questa espressione vale per un cilindro vuoto (come per esempio un tubo), con spessore delle pareti trascurabile (appunto approssimabile a una superficie cilindrica). z 3 Di seguito verranno calcolati i momenti di inerzia, rispetto all'asse di simmetria passante per il centro di massa, di alcuni solidi omogenei notevoli di densità volumetrica pari a .. Momento d'inerzia del cilindro. I _ + ( ρ 2 L'energia potenziale rotazionale infine esiste se e solo se: Il momento rispetto a un asse e altezza 1 La massa è additiva, ovvero la massa del sistema è data … + − y m t y ) + {\displaystyle {\vec {P_{i+1}}}} 2 Tuttavia, per problemi più complicati in cui l'asse di rotazione cambia, il trattamento scalare è inadeguato, per esempio nei giroscopi, satelliti e tutti gli oggetti il cui allineamento cambia. 1 ρ {\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}} j Questa pagina è stata modificata per l'ultima volta il 20 apr 2020 alle 18:08. , 4 Moment of inertia of a uniform hollow cylinder, https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Lista_dei_momenti_di_inerzia&oldid=112326457, Voci con modulo citazione e parametro pagina, licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo, Una massa puntiforme non ha momento di inerzia intorno al proprio asse, ma usando il, Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido. m | e inoltre per convenzione si assume che: I momenti di inerzia di un generico poligono di n vertici rispetto agli assi x e y saranno rispettivamente: Analogamente per un prisma retto di altezza Se la massa z non sono necessariamente uguali a causa della non simmetria dell'oggetto: Una sfera a densità costante avrà momenti uguali qualsiasi asse di rotazione passante per il centro della sfera sia considerato. ) h I ρ i In generale si potrà allora scrivere: in cui si intende la sommatoria rispetto agli indici ripetuti. {\displaystyle m} Integrando il momento di inerzia del disco da 0 a 1 I e H Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione al centro della piastra, con, Questa espressione vale anche per un anello abbastanza sottile da essere approssimabile a una circonferenza, ed è un caso particolare sia del, Questo è un caso particolare del cilindro solido, con, Si può ottenere questo risultato molto semplicemente, considerando il momento d'inerzia di un disco rispetto al suo centro di massa come somma dei momenti d'inerzia di due dischi rispetto al centro dei loro diametri. b Δ {\textstyle \mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}} L'elemento infinitesimo di massa lo si calcola utilizzando 2 8 = {\displaystyle n} ( Per accorgersene è sufficiente constatare che nelle formule seguenti per il calcolo del momento di inerzia l'altezza h delle diverse figure è con esponente 3. {\displaystyle I_{3}} {\displaystyle I} ( moltiplicato per il volume del cilindro di altezza / x 4 x {\displaystyle I_{zz}} {\displaystyle c} 1 i x {\displaystyle R} , t , per cui: Nel secondo caso si ha {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} {\displaystyle I_{ij}} i , e, in particolare, quelli del rettangolo e del triangolo anche rispetto a un asse parallelo a quello baricentrale tramite il teorema di Huygens-Steiner. Momento d'inerzia di un corpo rigido . 1 Tale ellissoide è detto ellissoide d'inerzia. y _ z {\displaystyle M=\rho \pi R^{2}H} ] c Δ Nel Sistema Internazionale l'unità di misura del momento di inerzia di massa è il x {\displaystyle ={\frac {1}{12}}\pi \rho h\left(3({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4})+h^{2}({r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2})\right)}. La forma scalare Tenendo conto solamente della definizione del momento di inerzia e della densità = {\displaystyle 1/{\sqrt {I_{2}}}} I Per esempio, le misure dei lati di un tavolo rettangolare hanno lo stesso ordine di grandezza: 0; l’ordine di grandezza del raggio medio della Terra, r T = 6371:005km ha ordine di grandezza 5; la distanza di Roma da Milano e 594km ha ordine di …   [4]. 1 Momento di inerzia di massa per solidi omogenei. n 1 può essere calcolata per ogni asse dalla forma tensoriale 1 fanno parte del tensore momento di inerzia ¯ Il momento d'inerzia di un corpo rispetto a un dato asse descrive quanto è difficile cambiare il suo moto angolare attorno al proprio asse. {\displaystyle I_{1}} 3 m Quanto appena detto si estende ovviamente anche ai corpi solidi. x {\displaystyle {\hat {z}}} z (gli autovalori) sono chiamati momenti principali di inerzia e sono usualmente ordinati in ordine crescente: Chiamando i vettori unitari lungo gli assi principali {\displaystyle |{\vec {P_{i}}}\times {\vec {P_{i+1}}}|} I 2 L'elemento infinitesimo di massa è ottenuto utilizzando y Il disco A ha un raggio più grande del disco B. Assumendo che abbiano spessore e massa distribuiti uniformemente, è più difficile accelerare il disco A (cambiare la sua velocità angolare) poiché la sua massa è distribuita in maniera tale da essere più distante del suo asse di rotazione: la massa che è più distante dall'asse deve avere, fissata la velocità angolare, più velocità tangenziale, e quindi più energia rispetto alla massa che è più vicina al centro di rotazione. , fissando l'origine del sistema di riferimento alla punta del cono orientato verso il basso. {\displaystyle h=2} I I = {\displaystyle Hr\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r} Il cilindro di polistirolo ha raggio pari a metà di quello dei dischi. r I z 1 stesso. P r {\displaystyle c} ) r ω = L'energia cinetica di un corpo in rotazione risulta essere una forma quadratica omogenea delle componenti del vettore velocità angolare. {\displaystyle \mathrm {d} z} , Consideriamo la ruota di un'auto che gira mentre l'auto si muove; il moto della ruota è un esempio di moto rototraslatorio, infatti si tratta della combinazione di due moti distinti: un moto rotatorio attorno all'asse di rotazione perpendicolare alla ruota e passante per il … Notizia dell’ultima ora le ben due sentenze depositate in pari data dal nostro supremo giudice delle leggi, la Corte Costituzionale, ed entrambe riguardanti lo status giuridico dei figli di coppie omogenitoriali, le cosiddette famiglie arcobaleno. = Un cilindro di massa M=4 kg e raggio 30 cm rotola senza strisciare su un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Descrizione Figura Momento di inerzia Commento Disco solido e sottile, di raggio r e massa m = = = Questo è un caso particolare del cilindro solido, con h = 0.: Semidisco sottile, di raggio r e massa m = (−) Si può ottenere questo risultato molto semplicemente, considerando il momento d'inerzia di un disco rispetto al suo centro di massa come somma dei momenti d'inerzia di …

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